就在格里高利步步緊逼時，艾拉的運算初步得到了結果。

    “大師……我沒辦法按你的要求畫出圖形。要讓面積變為兩倍，也就是說新的正方形邊長的乘積為二。由于正方形邊長相等，也就是說這個數自身和自身的乘積為二。我本想計算一下這是一個什么樣的數字……但我算不出來。”

    戈特弗里德正為格里高利接連不斷的問題發難，艾拉的這句話正好給了他一個岔開話題的機會。他忙不迭地說到：“你是怎么運算的？”

    “我參照了你畫在門口的那個圖形。你利用兩個多邊形夾逼的方法來計算圓的面積，我也就利用了同樣的方法，首先得出這個數介于三分之四和二分之三之間,    然后繼續尋找二者之間的分數……但不論我怎么尋找，我都沒法找出這個數字是什么?！?br/>
    艾拉的話也吸引了格里高利的注意。他拋下對亞伯拉罕古教會的追究，在一旁說道：“會不會只是你計算的不夠深入？”

    “不，為此我還特地證明了一下，然后發現……這個數根本不可能存在?！?br/>
    戈特弗里德的眼中閃過了一道光：“哦？說說你的證明過程。”

    “首先，第一個公理，任何一個整數乘于二，都將變為偶數，對吧？”

    格里高利在一旁點了點頭：“沒錯,    這是不言而明的公理。”

    “其次，第二個公理，偶數的平方是偶數，奇數的平方是奇數，也沒錯吧？”

    “不言而喻?！?br/>
    “那么，我假設這一個數最簡單分數表現形式為a/b，它的平方為2，也就是說（a×a）/（b×b）=2，換句話說，2（b×b）=（a×a）。根據第一個公理，（a×a）將是一個偶數，再根據第二個公理，a也是一個偶數?！?br/>
    “完全正確?！?br/>
    “既然a是一個偶數，那么a必定可以除于2，得到另一個整數，對么？”

    “當然?！?br/>
    “我們把這個整數用s表示。那么a就等于2s。代入之前那個公式,    就變成了2（b×b）=（2s×2s）=4（s×s），化簡之后就是（b×b）=2（s×s）。根據第一個公理，（b×b）將是一個偶數，再根據第二個公理，b是一個偶數。”

    “哦，a和b都為偶數，真是神奇的發現。可這又能說明什么呢？”

    “不要忘了，我們開頭設定著a/b是這個數的最簡分數表示形式！如果a和b都是偶數，那么他們必能同除于二，那就不再是最簡！可即便我們設定了新的數c、d，讓他們分別為a、b的二分之一，然后把這個數表示為c/d，也能通過上述的方法再次證明c和d都是偶數！如此劃分下去，這一個數將永遠不可能有最簡的分數表示形式！”